在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。
——罗素
卫冕冠军输了
世界杯鏖战正酣，一大早起来，就看到了德国爆冷输给墨西哥的消息，再次面临卫冕冠军小组出局的魔咒。昨晚下注德国输球的球迷今天可以着实高兴一回了。
每次世界杯，看球之余，足球彩票也是人们津津乐道的话题之一。既然是赌，很多人都会选择赔率高的，比如昨晚押德国输，那收益率是相当可观的。当然，一般认为德国输球的概率很小，投注血本无归的可能性也很高，所以一般人还不至于冒险把身家都押上。
很多年前看球时也曾琢磨过一个问题，有没有一种投注方法，使得比赛结果不论如何，自己都不赔呢？一般来说，这种情况是不存在的，除非庄家数学没学好。当然，有一种下注的办法可以保证金钱和精神至少有一样不亏：如果你是A队的球迷，那么A vs B时，可以下注A队输球，这样，A队赢了，作为球迷很高兴，而A队输了，那么至少还有金钱的收益可以安慰一下受伤的心灵。
关于足球比赛，之前也写过一篇文章《献给足球迷和数学爱好者》，适合小学生读。
假如有猪一样的庄家
我们来看看数学没学好的猪一样的庄家会是什么样子。假如某个庄家开出了一个“A胜 1.50，打平 6.50， B胜 13.00”的盘，那假设手头有455元可以用于投注，可以这么干：
A胜：下注338元
平：下注78元
B胜：下注39元
在这一投注下，无论是哪种比赛结果，都可以得到507元（338×1.5或78×6.5或39×13），赚52元。这么无本万利的事情，为什么不做呢？
为什么会有这样的好事？这是因为1/1.5+1/6.5+1/13≈0.897<1。
更一般地，假设胜、平、负的赔率分别为a, b, c, 且1/a+1/b+1/c<1，那么随便选一个数X，在胜、平、负盘分别投注X/a, X/b, X/c，一共投注的资金为X(1/a+1/b+1/c)，最后无论什么结果，得到的总是X，而由于X(1/a+1/b+1/c)<X，所以稳赚不赔。
为了从这个猪一样的庄家上赚更多的钱，你应该让X尽可能大，例如从银行借个“小目标”，反正第二天就能还。
真正的庄家
当然，如果你要真希望找到一个这样猪一样的庄家，那估计要失望了。我特意找了即将开始的比赛的欧赔的赔注。以瑞典vs韩国为例，1/2.05+1/3.2+1/3.8≈1.063。后面的几场大致也是在1.06-1.07左右。所以，如果你想按照刚才的方法投注，小亏是必然的了。
如果你遇上这么一个数学还可以的庄家，他开出赔率满足：1/a+1/b+1/c>1，那么，有没有一种投注方法能保证稳赚不赔呢？答案肯定是否定的，否则足球博彩就不可能存在了。
为什么呢？我们可以对此给出证明。假设我们在胜平负的投注分别为x, y, z元，那么总投入：x+y+z元。胜、平、负时的收益分别为：
xa-(x+y+z)
yb-(x+y+z)
zc-(x+y+z)
要保证无论胜平负都至少不赔，则应满足：
xa-(x+y+z)≥0
yb-(x+y+z)≥0
zc-(x+y+z)≥0
将上面三式稍作变换得:
(x+y+z)/a≤x
(x+y+z)/b≤y
(x+y+z)/c≤z
将上面的三式相加得：
(x+y+z)(1/a+1/b+1/c)≤x+y+z
由于1/a+1/b+1/c>1，仅当投资额x+y+z=0，也就是一分钱不投时才能确保无论比赛结果如何，都不亏。
当然，实际过程中，庄家的操作要复杂的多。一方面，需要根据队伍的相对实力来设置初始的赔率；另一方面，庄家会动态地调整赔率，调整赔率一方面会吸引投注资金的流向，另一方面是为了保证胜平负三个收益的平衡，这样导致无论出现什么比赛结果他都能稳赚。但不管怎样调整赔率，他一定要保证1/a+1/b+1/c>1，否则就会出现前面的情况。
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